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General Science
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भौतिक राशियों की विमीय विश्लेषण (Dimensional Analysis) और मापन की त्रुटियों (Errors in Measurement) के संदर्भ में, निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
- 1. यदि किसी भौतिक राशि का सूत्र $X = \frac{A^2 b^{1/2}}{C^3 D^4}$ है, और मापन में A, B, C तथा D की आपेक्षिक त्रुटियाँ क्रमशः $1\%, 2\%, 3\%$ और $1\%$ हैं, तो राशि X के मापन में अधिकतम संभव प्रतिशत त्रुटि $11\%$ होगी।
- 2. 'स्टेरेडियन' (Steradian) और 'रेडियन' (Radian) दोनों ही पूरक भौतिक राशियाँ (Supplementary quantities) हैं, जिनके अपने स्वयं के मात्रक होते हैं किंतु ये दोनों ही विमाहीन (Dimensionless) राशियाँ हैं।
- 3. विमीय समांगता के सिद्धांत (Principle of Homogeneity of Dimensions) के अनुसार, किसी भी भौतिक समीकरण में दोनों पक्षों के प्रत्येक पद के विमीय सूत्र समान होने चाहिए, और इस सिद्धांत का उपयोग करके किसी भी प्रकार के समीकरण की पूर्ण सत्यता (Absolute correctness) की सौ प्रतिशत गारंटी दी जा सकती है, भले ही समीकरण में कोई विमा-रहित नियतांक क्यों न हो।
- 4. पार्सेक (Parsec) खगोलीय दूरी मापने की सबसे बड़ी व्यावहारिक इकाई है, जो किसी चाप द्वारा 1 आर्कसेकंड का कोण बनाने पर आधारित होती है, और यह लगभग $3.08 \times 10^{16}$ मीटर के बराबर होती है।
उपर्युक्त कथनों में से कौन-से कथन सही हैं?
✓ Correct! Well done.
✗ Not quite — the correct answer is highlighted above.
Detailed Explanation
कथन 1 सही है क्योंकि त्रुटियों के संयोजन के नियम के अनुसार $\frac{\Delta X}{X} = 2\frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2}\frac{\Delta B}{B} + 3\frac{\Delta C}{C} + 4\frac{\Delta D}{D} = 2(1\%) + \frac{1}{2}(2\%) + 3(3\%) + 4(1\%) = 2 + 1 + 9 + 4 = 16\% $ नहीं बल्कि गणना के अनुसार: $2(1) + 0.5(2) + 3(3) + 4(1) = 2 + 1 + 9 + 4 = 16\%$, किंतु यहाँ दिए गए मानों से त्रुटि गणना करते हैं: यदि B की त्रुटि 2% हो तो $\frac{1}{2} \times 2 = 1\%$, A का $2 \times 1 = 2\%$, C का $3 \times 3 = 9\%$, D का $4 \times 1 = 4\%$, कुल योग $2+1+9+4 = 16\%$. (पुनः जाँच: कथन 1 में मानों का संयोजन 11% दिया है जो गलत है, अतः कथन 1 गलत है। त्रुटि गणना: $2(1) + \frac{1}{2}(2) + 3(3) + 4(1) = 16\%$, इसलिए कथन 1 अशुद्ध है।)
आइए सही कथनों का विश्लेषण करें:
कथन 2 सही है: रेडियन (कोण) और स्टेरेडियन (घन कोण) पूरक राशियाँ हैं जिनकी विमाएँ नहीं होतीं ($M^0 L^0 T^0$) लेकिन मात्रक होते हैं।
कथन 3 गलत है: विमीय समांगता विधि से केवल समीकरण की विमीय शुद्धता की जाँच की जा सकती है, यह इस बात की गारंटी नहीं देती कि समीकरण पूर्णतः सही है क्योंकि विमा-रहित स्थिरांक (जैसे $\frac{1}{2}, 2\pi$ आदि) का पता इस विधि से नहीं लगाया जा सकता।
कथन 4 सही है: पार्सेक खगोलीय दूरी की सबसे बड़ी इकाई है जो $3.26$ प्रकाश वर्ष या लगभग $3.08 \times 10^{16}$ मीटर के बराबर होती है। अतः केवल 2 और 4 सही हैं, जिससे सही उत्तर विकल्प 'a' बनता है (मान लीजिए यदि कथन 1 में त्रुटि योग 16% है)। अधिक जानकारी के लिए विकिपीडिया संदर्भ देखें।
Related Questions
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केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों और उपग्रहों की कक्षीय ऊर्जा के संदर्भ में, निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. केप्लर का द्वितीय नियम (क्षेत्रफलों का नियम) इस तथ्य पर आधारित है कि केंद्रीय बलों के अंतर्गत गति करते हुए किसी पिंड का कोणीय संवेग (Angular momentum) संरक्षित रहता है, जिसका अर्थ है कि उपग्रह जब पृथ्वी के सबसे निकट (उपसौर/पेरीजी) होता है, तो उसकी चाल अधिकतम और दूर होने पर न्यूनतम होती है।
2. किसी दीर्घवृत्तीय कक्षा में परिक्रमा कर रहे उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा ऋणात्मक होती है, जो यह दर्शाती है कि उपग्रह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बंधा हुआ है, और दीर्घवृत्तीय कक्षा के किसी भी बिंदु पर उपग्रह की गतिज ऊर्जा (Kinetic energy), उसकी स्थितिज ऊर्जा (Potential energy) के परिमाण की आधी होती है।
3. भू-स्थिर उपग्रह (Geostationary satellite) की परिक्रमा की अवधि ठीक 24 घंटे होती है और यह हमेशा विषुवत वृत्त (Equator) के तल में पश्चिम से पूर्व की ओर पृथ्वी की परिक्रमा करता है, जिसकी भू-सतह से ऊंचाई लगभग 36,000 किमी होती है।
उपर्युक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
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पदार्थ के सामान्य गुणों, विशेषकर 'श्यानता' (Viscosity) और 'स्टोक्स के नियम' (Stokes' Law) के संदर्भ में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. किसी श्यान माध्यम में गिरने वाले छोटे गोलीय पिंड पर कार्य करने वाला श्यान बल (Viscous force) पिंड के वेग, माध्यम की श्यानता गुणांक और पिंड की त्रिज्या तीनों के सीधे आनुपातिक होता है।
2. ताप में वृद्धि होने पर गैसों की श्यानता बढ़ जाती है, क्योंकि उच्च ताप पर गैसों के अणुओं की गतिज ऊर्जा और उनके बीच होने वाले संघट्ट (Collisions) की आवृत्ति में वृद्धि होती है।
3. जब कोई वस्तु किसी श्यान माध्यम में नीचे की ओर गिरती है, तो एक निश्चित समय के बाद उसका त्वरण शून्य हो जाता है और वह एक नियत वेग से गति करने लगती है, जिसे 'सीमांत वेग' (Terminal velocity) कहते हैं, और यह वेग वस्तु की त्रिज्या के वर्ग के सीधे आनुपातिक होता है।
उपर्युक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
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यूकैरियोटिक कोशिका चक्र (Cell Cycle) और कोशिका विभाजन के संदर्भ में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. कोशिका चक्र की 'अंतरावस्था' (Interphase) के दौरान 'संश्लेषण चरण' (S Phase) में डीएनए का प्रतिकृति (Replication) होता है, और यदि द्विगुणन के दौरान डीएनए में कोई क्षति या त्रुटि रह जाती है, तो कोशिका 'G2 चरण' में प्रवेश करने से पूर्व ही चक्र को रोकने के लिए 'G2/M चेकपॉइंट' का उपयोग करती है।
2. सूत्री विभाजन (Mitosis) की 'मेटाफेज' (Metaphase) अवस्था में गुणसूत्र अपने अधिकतम संघनन (Condensation) स्तर पर पहुँच जाते हैं और कोशिका के भूमध्यीय तल (Equatorial plate) पर व्यवस्थित होते हैं, जहाँ 'स्पिंडल फाइबर' काइनेटोकोर से जुड़ते हैं।
3. अर्धसूत्री विभाजन (Meiosis) के 'पैकीटीन' (Pachytene) उप-चरण में समजात गुणसूत्रों के बीच आनुवंशिक सामग्री का विनिमय होता है, जिसे 'क्रॉसिंग ओवर' कहते हैं, और यह प्रक्रिया 'सिक्टोनेमा' (Synaptonemal) कॉम्प्लेक्स के विघटन के बिना ही संपन्न हो जाती है।
उपर्युक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
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मानव शरीर में होने वाले विभिन्न आनुवंशिक, संक्रामक तथा अपक्षयी (Degenerative) रोगों के संदर्भ में, निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. 'हंटिंगटन रोग' (Huntington's disease) एक ऑटोसोमल प्रभावी (Autosomal dominant) न्यूरोडीजेनेरेटिव विकार है, जो क्रोमोसोम 4 पर स्थित 'HTT' जीन में CAG ट्रिपलेट रिपीट के अत्यधिक विस्तार (Trinucleotide repeat expansion) के कारण होता है।
2. 'प्रियन रोग' (Prion diseases), जैसे क्रूउत्ज़feldt-जैकोब रोग (CJD), संक्रामक विकृत प्रोटीन कणों के कारण होने वाले घातक मस्तिष्क विकार हैं, जिनमें आनुवंशिक सामग्री (DNA या RNA) पूर्णतः अनुपस्थित होती है और ये ऊष्मा तथा सामान्य स्टरलाइज़ेशन विधियों के प्रति अत्यधिक प्रतिरोधी होते हैं।
3. 'फिनाइलकेटोन्यूरिया' (Phenylketonuria) एक एक्स-लिंक्ड अप्रभावी (X-linked recessive) आनुवंशिक विकार है, जो 'फिनाइलएलैनिन हाइड्रॉक्सिलेज़' एंजाइम की कमी के कारण होता है, जिससे फिनाइलएलैनिन का संचय मस्तिष्क में गंभीर मानसिक मंदता (Intellectual disability) का कारण बनता है।
उपर्युक्त में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
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